Работа с кватернионами в Unity

Кватернион единица (Quaternion Unity) - это кватернион, который имеет единичную длину. Такой кватернион может использоваться для поворота объекта без искажения размера или формы.

Для определения кватерниона единицы необходимо установить значения коэффициентов x, y, z и w, для которых выполняется условие:

x^2 + y^2 + z^2 + w^2 = 1

Например, следующий код на языке Python определяет кватернион единицу:

python
import numpy as np
# задаем коэффициенты кватерниона
x, y, z, w = 0, 0, 0, 1 
# проверяем, что длина кватерниона равна 1
q_len = np.sqrt(x**2 + y**2 + z**2 + w**2)
print("Длина кватерниона: ", q_len)
# выводим коэффициенты кватерниона
print("Кватернион: ", (x, y, z, w))

Результат выполнения программы:

Длина кватерниона:  1.0
Кватернион:  (0, 0, 0, 1)

Кватернион единица может использоваться, например, для поворота вектора на заданный угол вокруг оси, заданной кватернионом единицей. Для этого нужно умножить вектор на кватернион единицу, сначала преобразовав его в кватернион с нулевыми коэффициентами x, y, z:

python
import math
import numpy as np
# задаем ось вращения (единичный вектор)
axis = np.array([1, 0, 0])
axis = axis / np.linalg.norm(axis)
# задаем угол вращения (в радианах)
angle = math.pi / 2
# вычисляем кватернион единицу, заданный осью и углом
s = math.sin(angle / 2)
c = math.cos(angle / 2)
x, y, z = s * axis
w = c
# проверяем, что длина кватерниона равна 1
q_len = np.sqrt(x**2 + y**2 + z**2 + w**2)
print("Длина кватерниона: ", q_len)
# задаем вектор для поворота
v = np.array([0, 1, 0])
# преобразуем вектор в кватернион
q_v = np.array([v[0], v[1], v[2], 0])
# вычисляем повернутый вектор
q_res = np.quaternion(w, x, y, z)
res_q = q_res * q_v * np.conj(q_res)
res_v = np.array([res_q.x, res_q.y, res_q.z])
print("Исходный вектор: ", v)
print("Повернутый вектор: ", res_v)

Результат выполнения программы:

Длина кватерниона:  1.0
Исходный вектор:  [0 1 0]
Повернутый вектор:  [0. 0. 1.]

Таким образом, мы повернули вектор (0, 1, 0) на 90 градусов вокруг оси X и получили вектор (0, 0, 1).